Les maths existent (je les ai rencontrées)*

Mahs_exitent
Posté par Antoine BRET
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Crédit illustration : Ensemble de Mandelbrot – Binette228 [CC BY-SA 3.0], via Wikimedia Commons

 

*Je n’ai pu m’empêcher d’emprunter le titre du livre d’Albert Frossard, Dieu existe, je l’ai rencontré, même si je ne pas sûr d’avoir « rencontré » les maths.

 

Contact avec les Maths

La mémoire joue parfois des tours mais il me semble me souvenir assez bien de ce moment. C’était 2 ans après mon bac. Soumis à une ingestion massive de maths et de physique, je ne pouvais m’empêcher d’y réfléchir après les cours. Ma réflexion portait ce soir-là sur les lois qui régissent les champs électriques et magnétiques. On les appelle les équations de Maxwell. Elles font intervenir un arsenal mathématique que l’on appelle « dérivées partielles », découvert par Newton et Leibniz au XVII siècle.

Perdu donc dans mes rêveries de promeneur Maxwellien, je me fis plus ou moins la réflexion suivante : « Comment se fait-il que des outils mathématiques abstraits issus de millénaires de progrès dans ce domaine, se trouvent soudain parfaitement adaptés pour décrire quelque chose de bien réel ? ».

 

J’ai bien vite appris que j’étais loin d’être le premier à m’étonner de la chose. Galilée n’avait-il pas écrit plusieurs siècles auparavant que

la nature est un livre écrit en langage mathématique  ?

 

Einstein aussi c’était posé la question :

Comment est-il possible que la mathématique, qui est un produit de la pensée humaine et est indépendante de toute expérience, puisse s’adapter d’une si admirable manière aux objets de la réalité ? [1]

 

Enfin, Eugène Wigner, Nobel de physique 1963, écrivit en 1960 un texte au titre aussi célèbre qu’explicite :

La déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles [2].

 

 

Les maths existent !

Quelques réflexions plus loin, une hypothèse s’est imposée à moi : les maths existent. Elles ne s’inventent pas. Elle se découvrent. Et là aussi, je me suis rendu compte que bien d’autres étaient arrivés au même point. Cédric Villani par exemple médaille Fields 2010 :

 je suis de ceux qui croient qu’il y a une harmonie préexistante

Il s’agit, poursuit-il, d’

une  intuition non expliquée, d’une conviction personnelle et quasi religieuse  [3].

 

Citons aussi Alain Connes, autre médaille Fields nationale, cette fois en 1982 :

Deux points de vue extrêmes s’opposent sur l’activité mathématique. Le premier, dans lequel je m’inscris volontiers, est d’inspiration platonicienne : il postule qu’il existe une réalité mathématique, brute, primitive, qui préexiste à sa découverte. Un monde dont l’exploration passe par la création d’outils, comme il a fallu inventer les navires pour passer les océans. Le second point de vue est celui des formalistes ; ils nient toute préexistence aux mathématiques, estimant qu’elles sont un jeu formel, fondé sur les axiomes et les déductions logiques, donc une pure création humaine. [4]

Puis il ajoute,

Ce point de vue paraît plus naturel au non-mathématicien, qui renâcle à postuler un monde inconnu dont il n’a aucune perception. Les gens comprennent que les mathématiques sont un langage, mais pas qu’elles constituent une réalité extérieure à l’esprit humain. Les grandes découvertes du XXe siècle, en particulier les travaux de Gödel[5], ont pourtant montré que le point de vue formaliste n’est pas tenable. Quel que soit le moyen exploratoire, le système formel utilisé, il y aura toujours des vérités mathématiques qui lui échapperont, et l’on ne peut réduire la réalité mathématique aux conséquences logiques d’un système formel.  [6]

 

Les maths comme réalité propre

Comme l’écrit Roger Penrose au sujet des maths en général et de l’ensemble de Mandelbrot en particulier,

Tout se passe comme si la pensée humaine était guidée de l’extérieur par une vérité éternel – une vérité possédant une réalité qui lui est propre… L’ensemble de Mandelbrot n’est pas une invention de l’esprit humain : c’est une découverte. Tout comme le mont Everest, l’ensemble de Mandelbrot est tout simplement  »[7]

(italique dans l’original).

L’ensemble de Mandelbrot, les nombres de Bernoulli, la gogolplex-ième[8] décimale de Pi, les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann, l’attracteur de Lorenz, le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier une carte sans que deux pays de la même couleur se touchent (4), la liste est longue, infinie même… tous ces trucs-là existent.

 

Les maths et éveil spirituel

Connes, Villani, Penrose… j’étais finalement en bonne compagnie. Cette « conviction personnelle et quasi religieuse » comme le dit Villani, me familiarisa avec la possibilité que quelque chose de non matériel puisse exister. Ce fut probablement, avec la lecture de Hermann Hesse, le début de mon cheminement spirituel.

 


Notes

[1] Einstein, Geometry and Experience, 1921. Texte en anglais.

[2] Je n’ai pas trouvé de traduction française. Le texte anglais est ici.

[3] Pierre Cartier, Jean Dhombres, Gerhard Heinzmann, Cédric Villani, Mathématiques en liberté, La Ville Brûle, 2012, page 60.

[4] Interview d’Alain Connes par Sylvestre Huet dans Libération, le 1 décembre 2001.

[5] Comme le rappelle Alain Connes, l’un des théorèmes de Gödel stipule que quels que soient les axiomes dont on se dote, il existera toujours des énoncés vrais, mais impossibles à démontrer.

[6] Je recommande vivement l’excellent Matière à pensée, dialogue entre le platonicien Alain Connes et le neurobiologiste formaliste Jean-Pierre Changeux.

[7] Roger Penrose, L’esprit, l’ordinateur et les lois de la physique, 1993, pages 101-102 du chapitre 3 intitulé « Mathématiques et réalité ».

[8] Un Googolplex est un 1 suivi de 10100 zéros. On ne saura probablement jamais quelle est cette décimale de Pi, mais elle existe.

Antoine BRET
Antoine est physicien chercheur et enseigne à l’Université Castilla-La Mancha près de Madrid. Auteur ou co-auteur de plus de 100 articles dans des revues à comité de lecture, il est régulièrement « chercheur invité » au département d’astrophysique de l’université de Harvard. Il a également travaillé pour une église évangélique française pendant 8 ans et a été pasteur à Madrid pendant une année.

2 Commentaires

  1. Avatar
    Temaro ven 23 Août 2019 Répondre

    Bonjour Antoine,

    Les maths et éveil spirituel:
     » Connes, Villani, Penrose… j’étais finalement en bonne compagnie. Cette « conviction personnelle et quasi religieuse » comme le dit Villani, me familiarisa avec la possibilité que quelque chose de non matériel puisse exister. Ce fut probablement, avec la lecture de Hermann Hesse, le début de mon cheminement spirituel.  »

    Je constate que ce sujet difficile n’a encore suscité aucune intervention sur le blog… C’est bien dommage !

    La question me semble fondamentale, je vais donc me risquer à une courte remarque (à l’aide d’un exemple simplissime  » à priori « ) qui je l’espère sera de nature à réexaminer les termes du problème et la conclusion suggérée par la citation ci-dessus.

    Par exemple, 2 vaches dans un champ impliquent-elles l’existence des nombres ?
    Et dans ce cas, peut-on légitimement affirmer que l’existence des nombres est une condition nécessaire à l’existence des 2 vaches ?
    En d’autres termes, les 2 vaches dependent-elles de l’existence des nombres ?

    Cette étrange conclusion m’amène à contrario, à considérer les 2 vaches comme la condition nécessaire et suffisante à l’existence des nombres en tant que CONSTRUCTION de l’esprit.

    Pour le dire autrement, le fait que ces deux vaches existent n’implique pas que le concept de  » 2 vaches  » existe ailleurs que dans mon esprit.

    En définitive, pour quelle raison ce qui semble evident pour 2 vaches ne le serait-il pas de l’ensemble de Mandelbrot ou de tout autre concept mathématique ?

  2. Avatar
    him sam 24 Août 2019 Répondre

    Bonjour Temaro
    Voilà une affirmation intéressante:
    « Sans un esprit humain pour le concevoir le nombre 2 n’existe pas »
    Il y a encore plus fondemantal : on peut se demander si la logique existe en dehors d’un esprit humain.
    Par exemple l’affirmation
    « Sans un esprit humain pour le concevoir le nombre 2 n’existe pas » est elle vraie ou fausse ?
    Or si sans esprit humain pour la concevoir la logique n’existe pas, alors cette affirmation ne saurait être déclarée vraie ou fausse.
    Je trouve l’exemple des vaches pas très bien choisi car peut être que les vaches savent compter jusqu’à 2.
    On pourrait plutôt choisir le nombre pi que les vaches ne conçoivent probablement pas et se demander si en l’absence d’esprit humain la somme des inverses des carrés des nombres entier est égale à pi au carré sur 6 ou pas.
    On peut aussi se demander si l’univers qui possède cet apparent potentiel d’intelligibilité aurait pu ne pas faire émerger de capacité à appréhender même très partiellement ces éléments intelligibles ?

    Quelle est ta croyance (de base ?) sur cette dernière question ?

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